Решите уравнение (x-2)^4-(x-2)^2-6=0.

Задание

Решите уравнение $(x-2)^4-(x-2)^2-6=0$ .

Пусть $t=(x-2)^2$ , тогда:

t^2-t-6=0;

D=b^2-4ac=1-4 \cdot 1 \cdot (-6)=1+24=25;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+5}{2}=3;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5}{2}=-2.

Проведем обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x-2)^2;

3=(x-2)^2;

3=x^2-4x+4;

x^2-4x+4-3=0;

x^2-4x+1=0;

D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 1=16-4=12;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{12}}{2}=2+\sqrt{3};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{12}}{2}=2-\sqrt{3}.

Вторая замена:

t_2=(x-2)^2;

-2=(x-2)^2;

-2=x^2-4x+4;

x^2-4x+4+2=0;

x^2-4x+6=0;

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 6=16-25=-9 < 0$ — корней нет.

Ответ: $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)