Решите уравнение (x+2)^4-4(x+2)^2-5=0.

Задание

Решите уравнение $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$ .

Пусть $t=(x+2)^2$ , тогда:

t^2-4t-5=0;

D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot (-5)=16+20=36;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+6}{2}=5;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-6}{2}=-1.

Проведем обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x+2)^2;

5=(x+2)^2;

5=x^2+4x+4;

x^2+4x+4-5=0;

x^2+4x-1=0;

D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot (-1)=16+4=20;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt{20}}{2}=-2+\sqrt{5};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt{20}}{2}=-2-\sqrt{5}.

Вторая замена:

t_2=(x-2)^2;

-1=(x+2)^2;

-1=x^2+4x+4;

x^2+4x+4+1=0;

x^2+4x+5=0;

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 5=16-20=-4 < 0$ — корней нет.

Ответ: $-2+\sqrt{5}, -2-\sqrt{5}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)