Решите уравнение (x-4)^4-4(x-4)^2-21=0.

Задание

Решите уравнение $(x-4)^4-4(x-4)^2-21=0.$

Пусть $t=(x-4)^2$ , тогда:

t^2-4t-21=0;

D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot (-21)=16+84=100;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+10}{2}=7;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-10}{2}=-3.

Выполним обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x-4)^2;

7=(x-4)^2;

7=x^2-8x+16;

x^2-8x+16-7=0;

x^2-8x+9=0;

D=b^2-4ac=64-4 \cdot 1 \cdot 9=64-36=28;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{8+\sqrt{28}}{2}=4+\sqrt{7};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{8-\sqrt{28}}{12}=4-\sqrt{7}.

Вторая замена:

t_2=(x-4)^2;

-3=(x-4)^2;

-3=x^2-8x+16;

x^2-8x+16+3=0;

x^2-8x+19=0;

$D=b^2-4ac=64-4 \cdot 1 \cdot 19=64-76=-12 < 0$ — корней нет.

Ответ: $4+\sqrt{7}, 4-\sqrt{7}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)