Решите уравнение (x+3)^4+2(x+3)^2-8=0.

Задание

Решите уравнение $(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0.$

Пусть $t=(x+3)^2$ , тогда:

t^2+2t-8=0;

D=b^2-4ac=4-4 \cdot 1 \cdot (-8)=4+32=36;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+6}{2}=2;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-6}{2}=-4.

Выполним обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x+3)^2;

2=(x+3)^2;

2=x^2+6x+9;

x^2+6x+9-2=0;

x^2+6x+7=0;

D=b^2-4ac=36-4 \cdot 1 \cdot 7=36-28=8;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+\sqrt{8}}{2}=-3+\sqrt{2};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-\sqrt{8}}{2}=-3-\sqrt{2}.

Вторая замена:

t_2=(x+3)^2;

-4=(x+3)^2;

-4=x^2+6x+9;

x^2+6x+9+4=0;

x^2+6x+13=0;

$D=b^2-4ac=36-4 \cdot 1 \cdot 13=36-52=-16 < 0$ — корней нет.

Ответ: $-3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)