Решите уравнение (x-3)^4-3(x-3)^2-10=0.

Задание

Решите уравнение $(x-3)^4-3(x-3)^2-10=0.$

Пусть $t=(x-3)^2$ , тогда:

t^2-3t-10=0;

D=b^2-4ac=9-4 \cdot 1 \cdot (-10)=9+40=49;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+7}{2}=5;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-7}{2}=-2.

Выполним обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x-3)^2;

5=(x-3)^2;

5=x^2-6x+9;

x^2-6x+9-5=0;

x^2-6x+4=0;

D=b^2-4ac=36-4 \cdot 1 \cdot 4=36-16=20;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+\sqrt{20}}{2}=3+\sqrt{5};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-\sqrt{20}}{2}=3-\sqrt{5}.

Вторая замена:

t_2=(x-3)^2;

-2=(x-3)^2;

-2=x^2-6x+9;

x^2-6x+9+2=0;

x^2-6x+11=0;

$D=b^2-4ac=36-4 \cdot 1 \cdot 11=36-44=-8 < 0$ — корней нет.

Ответ: $3+\sqrt{5}, 3-\sqrt{5}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)