Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?
Решение
Для решения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1 \cdot q^{n-1}, где n — порядковый номер члена прогрессии, b_1 — первый член, q — знаменатель.
Запишем известные данные (все значения запишем в сантиметрах):
b_1=540; \displaystyle q=\frac{1}{3}, т.к. при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. b_n должно быть меньше 10. \displaystyle 540 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}<10; \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}<\frac{10}{540}; \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}<\frac{1}{54}.Пусть n=4, тогда неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{4-1}<\frac{1}{54}; \displaystyle \frac{1}{27}<\frac{1}{54} — не верно.Пусть n=5, тогда неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{5-1}<\frac{1}{54}; \displaystyle \frac{1}{81}<\frac{1}{54} — верно.Значит после 5 отскока мячик подлетит на высоту меньше 10 см.
Ответ: 5.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)