Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?
Решение
Для решения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1 \cdot q^{n-1}, где n — порядковый номер члена прогрессии, b_1 — первый член, q — знаменатель.
Запишем известные данные (все значения запишем в сантиметрах):
b_1=400; \displaystyle q=\frac{1}{2}, т.к. при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. b_n должно быть меньше 20. \displaystyle 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<20; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<\frac{20}{400}; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<\frac{1}{20}.Пусть n=5, тогда неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}<\frac{1}{20}; \displaystyle \frac{1}{16}<\frac{1}{20} — не верно.Пусть n=6, тогда неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}<\frac{1}{20}; \displaystyle \frac{1}{32}<\frac{1}{20} — верно.Значит после 6 отскока мячик подлетит на высоту меньше 20 см.
Ответ: 6.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)