Две подруги Оля и Таня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Оля и Таня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 108 см.
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 27 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,8 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение задания 1
Треть длины спицы равняется 27-6,8=20,2 см.
Треть — значит третья часть. Значит, вся спица будет равна в три раза больше, т.е. 20,2 \cdot 3=60,6 см.
Ответ: 60,6.
Задание 2
«Поскольку зонт сшит из треугольников, — рассуждала Оля, — площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 59 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение задания 2
По условию купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев. Клинья имеют вид треугольников, где известно высота h=59 см и основание a=28 см.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.Найдем площадь одного такого треугольника:
\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 59 \cdot 28=826 кв. см.А всего у нас 12 таких треугольников. Найдем их площадь:
S_{12}=S \cdot 12=826 \cdot 12=9912 кв. см.Округлим до десятков 9912 \approx 9910 кв. см.
Ответ: 9910.
Задание 3
Таня предложила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение задания 3
Введем обозначения:
Треугольник AOB — равнобедренный, т.к. AO=BO=R. Значит, углы при основании равны \angle OAD = \angle OBD.
OC является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, OB является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, \angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}.Получается, что треугольник ADO равен треугольнику BDO по гипотенузе и острому углу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Найдем длину AD, она равняется половине расстояния d:
\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{108}{2}=54.Найдем OC:
OD=OC-h=R-27.Найдем OA по теореме Пифагора:
AO^2=AD^2+OD^2; R^2=54^2+(R-27)^2; R^2=2916+R^2-54R+729; 54R=3645; R=67,5.Получилось, что радиус сферы купола равен 67,5 см.
Ответ: 67,5.
Задание 4
Таня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формулу S=2πRh, где R — радиус сферы, а h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Тани. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение задания 4
Высоту сегмента мы знаем из условия и она равняется h=27 см, а радиус нашли из задания 3 и он равняется R=67,5 см.
Подставим известные данные в формулу и найдем площадь купола:
S=2 \cdot 3,14 \cdot 27 \cdot 67,5=11445,3 кв см.Округлим до целого и получим 11445,3 \approx 11445 кв. с
Ответ: 11445.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 15 зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Тани. Каждый треугольник с учетом припуска на швы имеет площадь 850 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение задания 5
Переведем длину в сантиметры 20 \cdot 100=2000 см.
Найдем площадь рулона ткани S=2000 \cdot 90=180000 кв. см.
Один зонт состоит из 12 треугольников, а каждый треугольник имеет площадь 850 кв. см. Найдем сколько ткани ушло на 15 зонтов:
S_1=12 \cdot 850 \cdot 15=153000 кв. см.Значит в обрезки уйдет 180000-153000=27000 кв. см.
Найдем сколько процентов обрезки от первоначального рулона:
Пусть x \% — площадь обрезков и составляет 27000, а 100 \% — площадь всего рулона и составляет 180000. Составим пропорцию и найдем сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки:
\displaystyle \frac{x}{100}=\frac{27000}{180000}; 180000x=27000 \cdot 100; 1800x=27000; x=15 \%.Ответ: 15.
Источник: ОГЭ-2026 Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 34) (Решебник)