Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Введем обозначения:
Треугольник BEO — прямоугольный. Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}. Можно найти \angle EBO = 180^{\circ}-\angle BEO - \angle BOE = 180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ} = 55^{\circ}.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. делят углы ромба пополам:
\angle ABC =\angle CBO \cdot 2 =55^{\circ} \cdot 2 =110^{\circ}.
Противоположные углы ромба равны, значит \angle B =\angle D=110^{\circ}.
Сумма углов в ромбе равна 360^{\circ}. Можно найти еще два неизвестных угла:
\angle A+\angle B+ \angle C+\angle D=360^{\circ};
\angle A+110^{\circ}+ \angle C+110^{\circ}=360^{\circ};
\angle A+ \angle C=360^{\circ}-110^{\circ}-110^{\circ};
\angle A+ \angle C=140^{\circ};
\angle A = \angle C=140^{\circ} \div 2=70^{\circ}.
Получается, что острый угол ромба составляет 70^{\circ}.
Ответ: 70.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)