Один из углов ромба равен 130°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Введем обозначения:
Противоположные углы ромба равны, значит \angle B =\angle D=130^{\circ}.
Сумма углов в ромбе равна 360^{\circ}. Можно найти еще два неизвестных угла:
\angle A+\angle B+ \angle C+\angle D=360^{\circ};
\angle A+130^{\circ}+ \angle C+130^{\circ}=360^{\circ};
\angle A+ \angle C=360^{\circ}-130^{\circ}-130^{\circ};
\angle A+ \angle C=100^{\circ};
\angle A = \angle C=100^{\circ} \div 2=50^{\circ}.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. делят углы ромба пополам:
\angle CAD =\angle A \cdot 2 =50^{\circ} \cdot 2 =25^{\circ}.
Рассмотрим треугольник AOE. Он является прямоугольным. Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}. Можно найти \angle AOE = 180^{\circ}-\angle AEO - \angle OEA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ}=65^{\circ}.
Найдем угол между высотой и большей диагональю ромба:
\angle BOC=\angle AOE = \angle 65^{\circ} — как вертикальные.
Ответ: 65.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)