Один из углов ромба равен 110°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Введем обозначения:
Противоположные углы ромба равны, значит \angle B =\angle D=110^{\circ}.
Сумма углов в ромбе равна 360^{\circ}. Можно найти еще два неизвестных угла:
\angle A+\angle B+ \angle C+\angle D=360^{\circ};
\angle A+110^{\circ}+ \angle C+110^{\circ}=360^{\circ};
\angle A+ \angle C=360^{\circ}-110^{\circ}-110^{\circ};
\angle A+ \angle C=140^{\circ};
\angle A = \angle C=140^{\circ} \div 2=70^{\circ}.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, т.е. делят углы ромба пополам:
\angle CAD =\angle A \cdot 2 =70^{\circ} \cdot 2 =35^{\circ}.
Рассмотрим треугольник AOE. Он является прямоугольным. Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}. Можно найти \angle AOE = 180^{\circ}-\angle AEO - \angle OEA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ}=55^{\circ}.
Найдем угол между высотой и большей диагональю ромба:
\angle BOC=\angle AOE = \angle 55^{\circ} — как вертикальные.
Ответ: 55.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)