Даны векторы \overrightarrow{a} (-3; 2), \overrightarrow{b} (-1; -9). Найдите длину вектора 3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.
Решение
Небольшая теория:
При сложении векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты складываются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)+\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1+x_2; y_1+y_2).
При вычитании векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты вычитаются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)-\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1-x_2; y_1-y_2).
При умножении вектора \overrightarrow{a} (x_1; y_1) на число k — координаты умножаются на число k: k \cdot \overrightarrow{a} (x_1; y_1)=\overrightarrow{c} (kx_1; ky_1).
Длину вектора можно найти по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
3\overrightarrow{a} = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 2)=(-9; 6).
2\overrightarrow{b} = (2 \cdot (-1); 2 \cdot (-9))=(-2; -18).
Найдем координаты вектора 3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}:
3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (-9; 6)-(-2; -18) = (-9-(-2); 6-(-18))=(-7 ;24).
Найдем длину вектора 3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}:
|3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-7)^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.
Ответ: 25.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 1) (Решебник)