Из города А в город Б выехал автобус, а через полчаса со скоростью 85 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б. Найдите расстояние от А до К, если расстояние между городами А и Б равно 174 км. Ответ дайте в километрах.
Решение
Для решения воспользуемся формулой S=V \cdot t.
Пусть x км — расстояние от А до К, а y км/ч — скорость автомобиля.
Составим таблицу на участке пути от А до К:
Автобус выехал на пол часа раньше. Можно составить уравнение:
\displaystyle \frac{x}{y}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2}.
Составим таблицу на участке пути для автобуса от К до Б, для автомобиля от К до А:
Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б, т.е. они прибыли одновременно. Можно составить уравнение:
\displaystyle \frac{174-x}{y}=\frac{x}{85}.
Получим следующую систему уравнений:
\displaystyle \begin{cases} \frac{x}{y}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2}, \\ \frac{174-x}{y}=\frac{x}{85}. \end{cases}Из второго уравнения вынесем y:
\displaystyle \frac{174-x}{y}=\frac{x}{85};
85(174-x)=xy;
\displaystyle y=\frac{85(174-x)}{x}.
Подставим y в первое уравнение:
\displaystyle \frac{x}{y}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2};
\displaystyle \frac{x}{\frac{85(174-x)}{x}}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2};
\displaystyle \frac{x^2}{85(174-x)}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2};
\displaystyle \frac{x^2-x(174-x)}{85(174-x)}=\frac{1}{2};
\displaystyle \frac{x^2-174x+x^2}{85(174-x)}=\frac{1}{2};
\displaystyle \frac{2x^2-174x}{85(174-x)}=\frac{1}{2};
4x^2-348x=85(174-x);
4x^2-348x=14790-85x;
4x^2-263x-14790=0;
D=69169-4 \cdot 4 \cdot (-14790)=69169+236640=305809;
\displaystyle x_1=\frac{263-553}{8}=-\frac{290}{8}=-36,25 — расстояние не может быть отрицательным;
\displaystyle x_2=\frac{263+553}{8}=\frac{816}{8}=102.
Ответ: 102.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 7) (Решебник)