Прямая y = −6x + 15 является касательной к графику функции y = x3 + 5x2 — 3x + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Чтобы прямая y = −6x + 15 была касательной к графику функции y=x^3+ 5x^2 - 3x + 6, производная от функции y=x^3+ 5x^2 - 3x + 6 должна быть равна угловому коэффициенту касательной (угловой коэффициент касательной к графику функции — это числовой коэффициент k в уравнении касательной вида y = kx + b). У прямой y = −6x + 15 коэффициент равен -6.
Производная второй функции y'=(x^3+ 5x^2 - 3x + 6)'=3x^2+10x-3.
Запишем и решим уравнение:
3x^2+10x-3=-6;
3x^2+10x+3=0;
D=100-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64;
\displaystyle x_1=\frac{-10+8}{6}=-\frac{1}{3};
\displaystyle x_2=\frac{-10-8}{6}=-3.
Подставим значение x_1:
\displaystyle y\left( -\frac{1}{3} \right)= -6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) + 15=2+15=17 — касательная;
\displaystyle y\left( -\frac{1}{3} \right)= x^3+5x^2-3x+6=\left( -\frac{1}{3} \right)^3+5 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)^2 - 3 \cdot -\frac{1}{3}+6=-\frac{1}{27} + \frac{5}{9} + 1 + 6=\frac{14}{27}+7=7 \frac{14}{27} — функция.
При x_1 значение функции не равно значению касательной. Значит она не является точкой касания.
Подставим значение x_2:
\displaystyle y (-3)= -6 \cdot -3 + 15=18+15=33 — касательная;
\displaystyle y (-3)=(-3)^3-5 \cdot (-3)^2-3 \cdot -3+6=-27+45+9+6=33 — функция.
При x_2 значение функции равно значению касательной. Значит она и является точкой касания.
Ответ: -3.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 9) (Решебник)