Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10, а высота равна 12.
Решение
Площадь поверхности пирамиды равны S=S_{осн}+S_{бок}.
В основании правильной пирамиды квадрат. Площадь которого равна S=a^2=10^2=100.
Каждая боковая грань — это равные равнобедренный треугольники.
Рассмотрим один из таких граней. Введем обозначения:
Площадь равнобедренного треугольника находится по формуле \displaystyle S=\frac{a \cdot h}{2}=\frac{BC \cdot AH}{2}. У нас известна сторона основания BC=10.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой. Значит, BH=HC=BC \div 2=10 \div 2=5.
Т.к в основании лежит квадрат, то OH=HB=HC=5.
Нужно найти высоту AH. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. По теореме Пифагора можно найти гипотенузу AH:
AH^2=AO^2+OH^2;
AH^2=12^2+5^2;
AH^2=144+25;
AH^2=169;
AH=13.
Найдём площадь равнобедренного треугольника:
\displaystyle S=\frac{BC \cdot AH}{2}=\frac{10 \cdot 13}{2}=65.
А в боковые гранях таких треугольников четыре. Значит их площадь равна S_{бок}=4 \cdot 65=260.
Найдём площадь поверхности этой пирамиды:
S=100+260=360.
Ответ: 360.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 10) (Решебник)