Найдите наибольшее значение функции y=ln(5x)-5x-5 на отрезке [0,1; 0,5].
Решение
ООФ: 5x>0;
x>0.
Найдём производную функции \displaystyle y'=(ln(5x)-5x-5)'=\frac{1}{5x} \cdot 5-5=\frac{5}{5x}-5=\frac{1}{x}-5.
Найдём нули производной:
\displaystyle \frac{1}{x}-5=0;
\displaystyle \frac{1}{x}=5;
\displaystyle 5x=1;
\displaystyle x=1 \div 5=0,2.
Изобразим поведение функции:
x=0,2 — точка максимума. Значит тут функция имеет наибольшее значение. Еще нужно проверить значение на концах отрезка, но в нашем случае нет необходимости проверять значение в точках 0,1 и 0,2, т.к. ln x должно равняться целому числу (ln e=1), потому что в ответ можно записать только целое число.
y(0,2)=ln(5x)-5x-5=ln(5 \cdot 0,2)-5 \cdot 0,2-5=ln(1)-1-5=0-1-5=-6.
Ответ: -6.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 13) (Решебник)