Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-10x+10)e^{2-x} на отрезке [-1; 7].
Решение
Найдём производную функции y'=((x^2-10x+10)e^{2-x})'=(x^2-10x+10)' \cdot e^{2-x}+(x^2-10x+10) \cdot (e^{2-x})'=(2x-10)e^{2-x}+(x^2-10x+10) \cdot (-e^{2-x})=e^{2-x} \cdot ((2x-10)-(x^2-10x+10))=e^{2-x} \cdot (-x^2+12x-20).
Найдём нули производной:
e^{2-x} \cdot (-x^2+12x-20)=0;
Произведение равно нулю, когда e^{2-x}=0 или -x^2+12x-20=0.
e^{2-x}>0;
ИЛИ
-x^2+12x-20=0;
x^2-12x+20=0.
D=144 - 4 \cdot 1 \cdot 20=64;
\displaystyle x_1=\frac{12-8}{2}=2;
\displaystyle x_1=\frac{12+8}{2}=10 — не входит в промежуток [-1; 7].
Изобразим поведение функции:
x=2 — точка минимума. Значит тут функция имеет наименьшее значение. Еще нужно проверить значение на концах отрезка, но в нашем случае нет необходимости проверять значение в точках -1 и 7, т.к. e должно равняться целому числу (e^{2-2}=e^0=1), потому что в ответ можно записать только целое число.
y(2)=(x^2-10x+10)e^{2-x}=(2^2-10 \cdot 2+10)e^{2-2}=4-20+10=-6.
Ответ: -6.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 21) (Решебник)