Найдите наименьшее значение функции y=3-3 \pi+12x-12 \sqrt{2} sin x на отрезке \displaystyle \left(0; \frac{\pi}{2} \right).
Решение
Найдём производную функции \displaystyle y'=(3-3 \pi+12x-12 \sqrt{2} sin x)'=12-12\sqrt{2}cosx
Найдём нули производной:
\displaystyle 12-12\sqrt{2}cosx=0;
\displaystyle 12\sqrt{2}cosx=12;
\sqrt{2}cosx=1;
\displaystyle cosx=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2};
\displaystyle x=\frac{\pi}{4}.
Изобразим поведение функции:
\displaystyle x=\frac{\pi}{4} — точка минимума. Значит тут функция имеет наименьшее значение. Еще нужно проверить значение на концах отрезка:
\displaystyle y(0)=3-3 \pi+12 \cdot 0-12 \sqrt{2} sin 0=3-3 \pi \approx 6,4;
\displaystyle y(\frac{\pi}{4})=3-3 \pi+12 \cdot \frac{\pi}{4}-12 \sqrt{2} sin \frac{\pi}{4}=3-12=-9;
\displaystyle y(\frac{\pi}{2})=3-3 \pi+12 \cdot \frac{\pi}{2}-12 \sqrt{2} sin \frac{\pi}{2} \approx 4,4.
Получилось, что наименьшее значение функции равно -9.
Ответ: -9.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 20) (Решебник)