Решите неравенство (x^2+x-12)(x^2+x-20) \leq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2+x-12=0;
D=1-4 \cdot 1 \cdot (-12)=1+48=49;
\displaystyle x_1=\frac{-1-7}{2}=-4;
\displaystyle x_2=\frac{-1+7}{2}=3
Значит, x^2+x-12=(x+4)(x-3).
x^2+x-20=0;
D=1-4 \cdot 1 \cdot (-20)=1+80=81;
\displaystyle x_1=\frac{-1-9}{2}=-5;
\displaystyle x_2=\frac{-1+9}{2}=4
Значит, x^2+x-20=(x+5)(x-4).
Запишем получившееся неравенство:
(x+4)(x-3)(x+5)(x-4) \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+4)(x-3)(x+5)(x-4) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+4 = 0 или x-3 = 0, или x+5 = 0, или x-4 = 0
x+4 = 0;
x = -4
ИЛИ
x-3 = 0;
x=3
ИЛИ
x+5 = 0;
x = -5
ИЛИ
x-4 = 0;
x = 4
Получилось, что x \in [-5; -4] \cup [3; 4].
Ответ: x \in [-5; -4] \cup [3; 4].
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)