Решите неравенство (x^2-3x-10)(x^2-8x+15) \leq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2-3x-10=0;
D=9-4 \cdot 1 \cdot (-10)=9+40=49;
\displaystyle x_1=\frac{3-7}{2}=-2;
\displaystyle x_2=\frac{3+7}{2}=5
Значит, x^2-3x-10=(x+2)(x-5).
x^2-8x+15=0;
D=64-4 \cdot 1 \cdot 15=64-60=4;
\displaystyle x_1=\frac{8-2}{2}=3;
\displaystyle x_2=\frac{8+2}{2}=5
Значит, x^2-8x+15=(x-3)(x-5).
Запишем получившееся неравенство:
(x+2)(x-5)(x-3)(x-5) \leq 0;
(x+2)(x-5)^2 (x-3) \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+2)(x-5)^2 (x-3) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+2 = 0 или (x-5)^2 = 0, или x-3 = 0
x+2 = 0;
x = -2
ИЛИ
(x-5)^2 = 0;
x=5
ИЛИ
x-3 = 0;
x = 3
Получилось, что x \in [-2; 3] \cup \{5\}.
Ответ: x \in [-2; 3] \cup \{5\}.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)