Решите неравенство (x^2+x-20)(x^2-7x+12) \leq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2+x-20=0;
D=1-4 \cdot 1 \cdot (-20)=1+80=81;
\displaystyle x_1=\frac{-1-9}{2}=-5;
\displaystyle x_2=\frac{-1+9}{2}=4
Значит, x^2+x-20=(x+5)(x-4).
x^2-7x+12=0;
D=49-4 \cdot 1 \cdot 12=49-48=1;
\displaystyle x_1=\frac{7-1}{2}=3;
\displaystyle x_2=\frac{7+1}{2}=4
Значит, x^2-7x+12=(x-3)(x-4).
Запишем получившееся неравенство:
(x+5)(x-4)(x-3)(x-4) \leq 0;
(x+5)(x-4)^2 (x-3) \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+5)(x-4)^2 (x-3) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+5 = 0 или (x-4)^2 = 0, или x-3 = 0
x+5 = 0;
x = -5
ИЛИ
(x-4)^2 = 0;
x=4
ИЛИ
x-3 = 0;
x = 3
Получилось, что x \in [-5; 3] \cup \{4\}.
Ответ: x \in [-5; 3] \cup \{4\}.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)