Решите неравенство (x^2+3x-18)(x^2-5x+6) \leq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2+3x-18=0;
D=9-4 \cdot 1 \cdot (-18)=9+72=81;
\displaystyle x_1=\frac{-3-9}{2}=-6;
\displaystyle x_2=\frac{-3+9}{2}=3
Значит, x^2+3x-18=(x+6)(x-3).
x^2-5x+6=0;
D=25-4 \cdot 1 \cdot 6=25-24=1;
\displaystyle x_1=\frac{5-1}{2}=2;
\displaystyle x_2=\frac{5+1}{2}=3
Значит, x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Запишем получившееся неравенство:
(x+6)(x-3)(x-2)(x-3) \leq 0;
(x+6)(x-3)^2 (x-2) \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+6)(x-3)^2 (x-2) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+6 = 0 или (x-3)^2 = 0, или x-2 = 0
x+6 = 0;
x = -6
ИЛИ
(x-3)^2 = 0;
x=3
ИЛИ
x-2 = 0;
x = 2
Получилось, что x \in [-6; 2] \cup \{3\}.
Ответ: x \in [-6; 2] \cup \{3\}.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)