Решите неравенство (x^2+x-12)(x^2-9x+18) \geq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2+x-12=0;
D=1-4 \cdot 1 \cdot (-12)=1+48=49;
\displaystyle x_1=\frac{-1-7}{2}=-4;
\displaystyle x_2=\frac{-1+7}{2}=3
Значит, x^2+x-12=(x+4)(x-3).
x^2-9x+18=0;
D=81-4 \cdot 1 \cdot 18=81-72=9;
\displaystyle x_1=\frac{9-3}{2}=3;
\displaystyle x_2=\frac{9+3}{2}=6
Значит, x^2-9x+18=(x-3)(x-6).
Запишем получившееся неравенство:
(x+4)(x-3)(x-3)(x-6) \geq 0;
(x+4)(x-3)^2 (x-6) \geq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+4)(x-3)^2 (x-6) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+4 = 0 или (x-3)^2 = 0, или x-6 = 0
x+4 = 0;
x = -4
ИЛИ
(x-3)^2 = 0;
x=3
ИЛИ
x-6 = 0;
x = 6
Получилось, что x \in ( -\infty; -4] \cup \{3\} \cup [6; +\infty).
Ответ: x \in ( -\infty; -4] \cup \{3\} \cup [6; +\infty).
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)