Решите неравенство (x^2-x-6)(x^2-8x+15) \geq 0 .
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Поэтому:
x^2-x-6=0;
D=1-4 \cdot 1 \cdot (-6)=1+24=25;
\displaystyle x_1=\frac{1-5}{2}=-2;
\displaystyle x_2=\frac{1+5}{2}=3
Значит, x^2-x-6=(x+2)(x-3).
x^2-8x+15=0;
D=64-4 \cdot 1 \cdot 15=64-60=4;
\displaystyle x_1=\frac{8-2}{2}=3;
\displaystyle x_2=\frac{8+2}{2}=5
Значит, x^2-8x+15=(x-3)(x-5).
Запишем получившееся неравенство:
(x+2)(x-3)(x-3)(x-5) \geq 0;
(x+2)(x-3)^2 (x-5) \geq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x+2)(x-3)^2 (x-5) = 0;
Уравнение равно нулю, когда x+2 = 0 или (x-3)^2 = 0, или x-5 = 0
x+2 = 0;
x = -2
ИЛИ
(x-3)^2 = 0;
x=3
ИЛИ
x-5 = 0;
x = 5
Получилось, что x \in ( -\infty; -2] \cup \{3\} \cup [5; +\infty).
Ответ: x \in ( -\infty; -2] \cup \{3\} \cup [5; +\infty).
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)