Решите неравенство \displaystyle \frac{x^2-8x+12}{x-2} \leq 0.
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Преобразуем числитель:
x^2-8x+12=0;
D=64-4 \cdot 1 \cdot 12=64-48=16;
\displaystyle x_1=\frac{8-4}{2}=2;
\displaystyle x_2=\frac{8+4}{2}=6;
x^2-8x+12=(x-2)(x-6).
Перепишем неравенство:
\displaystyle \frac{(x-2)(x-6)}{x-2} \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
Нули числителя:
x-2=0;
x=2
ИЛИ
x-6=0;
x=6
Нули знаменателя:
x-2 \neq 0;
x \neq 2
Получилось, что x \in (-\infty; 2) \cup (2; 6].
Ответ: x \in (-\infty; 2) \cup (2; 6].
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)