Решите неравенство \displaystyle \frac{x^2-9x+20}{x-4} \leq 0.
Решение
Мы знаем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Преобразуем числитель:
x^2-9x+20=0;
D=81-4 \cdot 1 \cdot 20=81-80=1;
\displaystyle x_1=\frac{9-1}{2}=4;
\displaystyle x_2=\frac{9+1}{2}=5;
x^2-9x+20=(x-4)(x-5).
Перепишем неравенство:
\displaystyle \frac{(x-4)(x-5)}{x-4} \leq 0;
Воспользуемся методом интервалов:
Нули числителя:
x-4=0;
x=4
ИЛИ
x-5=0;
x=5
Нули знаменателя:
x-4 \neq 0;
x \neq 4
Получилось, что x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5].
Ответ: x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5].
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)