Периметр ромба равен 48, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба находится по формуле $\displaystyle S=a \cdot h$ , где $a$ — длина стороны ромба, $h$ — высота.

Введем обозначения и проведем высоту:

Периметр ромба равен $56$ , значит сторона ромба равна $48 \div 4 = 12$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ . Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. В нашем случае $A=30^{\circ}$ и гипотенуза $AB=a=12$ . Значит, высота $\displaystyle BH=h=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{1}{2} \cdot 12=6$ .

Подставим известные значения в формулу и найдём площадь ромба:

$S=12 \cdot 6=72.$

Ответ: $72$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)