Задание
Биссектриса равностороннего треугольника равна 9\sqrt{3}. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник ABC — равносторонний. А в равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:
\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.Пусть AH=HC=x. Можно записать:
\displaystyle x=\frac{AC}{2} отсюда AC=2x.
Т.к. треугольник равносторонний, значит AC=AB=BC=2x.
Треугольник ABH является прямоугольным, т.к. BH — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH найдем сторону AH:
AB^2=AH^2+BH^2; (2x)^2=x^2+(9\sqrt{3})^2; 4x^2=x^2+81 \cdot 3; 4x^2-x^2=81 \cdot 3; 3x^2=81 \cdot 3; x^2=81; x=9.Найдем сторону треугольника ABC: AC=AB=BC=2x=2 \cdot 9=18.
Ответ: 18.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)