Задание
Высота равностороннего треугольника равна 13\sqrt{3}. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник ABC — равносторонний. А в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:
\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.
Пусть AH=HC=x. Можно записать:
\displaystyle x=\frac{AC}{2} отсюда AC=2x.
Т.к. треугольник равносторонний, значит AC=AB=BC=2x.
Треугольник ABH является прямоугольным, т.к. BH — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH найдем сторону AH:
AB^2=AH^2+BH^2;
(2x)^2=x^2+(13\sqrt{3})^2;
4x^2=x^2+169 \cdot 3;
4x^2-x^2=169 \cdot 3;
3x^2=169 \cdot 3;
x^2=169;
x=13.
Найдем сторону треугольника ABC: AC=AB=BC=2x=2 \cdot 13=26.
Ответ: 26.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)