Высота равностороннего треугольника равна 13 sqrt 3

Задание

Высота равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$ . Найдите сторону этого треугольника.

Введем обозначения:

Треугольник $ABC$ — равносторонний. А в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:

\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.

Пусть $AH=HC=x$ . Можно записать:

$\displaystyle x=\frac{AC}{2}$ отсюда $AC=2x.$

Т.к. треугольник равносторонний, значит $AC=AB=BC=2x.$

Треугольник $ABH$ является прямоугольным, т.к. $BH$ — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем сторону $AH:$

AB^2=AH^2+BH^2;

(2x)^2=x^2+(13\sqrt{3})^2;

4x^2=x^2+169 \cdot 3;

4x^2-x^2=169 \cdot 3;

3x^2=169 \cdot 3;

x^2=169;

x=13.

Найдем сторону треугольника $ABC$ : $AC=AB=BC=2x=2 \cdot 13=26.$

Ответ: $26$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)