Медиана равностороннего треугольника равна 11 sqrt 3

Задание

Медиана равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$ . Найдите сторону этого треугольника.

Введем обозначения:

Треугольник $ABC$ — равносторонний. А в равностороннем треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:

\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.

Пусть $AH=HC=x$ . Можно записать:

$\displaystyle x=\frac{AC}{2}$ отсюда $AC=2x.$

Т.к. треугольник равносторонний, значит $AC=AB=BC=2x.$

Треугольник $ABH$ является прямоугольным, т.к. $BH$ — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем сторону $AH:$

AB^2=AH^2+BH^2;

(2x)^2=x^2+(11\sqrt{3})^2;

4x^2=x^2+121 \cdot 3;

4x^2-x^2=121 \cdot 3;

3x^2=121 \cdot 3;

x^2=121;

x=11.

Найдем сторону треугольника $ABC$ : $AC=AB=BC=2x=2 \cdot 11=22.$

Ответ: $22$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)