Решите систему уравнений
\begin{cases} x^2+y^2=68, \\ xy=-16. \end{cases}Решение
Выразим x из второго уравнения \displaystyle x=\frac{-16}{y} и подставим его в первое уравнение:
\displaystyle \left( \frac{-16}{y} \right)^2+y^2=68; \displaystyle \frac{256}{y^2}+y^2=68; 256+y^4=68y^2; y^4-68y^2+256=0;Пусть t=y^2. Тогда:
t^2-68t+256=0; D=b^2-4ac=68^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256=4624-1024=3600; \displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{68+60}{2 \cdot 1}=64; \displaystyle t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{68-60}{2 \cdot 1}=4.Проведем обратную замену:
y^2=64; y_{1,2}=\pm 8; y^2=4; y_{3,4}=\pm 2;Подставим значение y во второе уравнение и найдем x:
Первое уравнение:
\displaystyle x_1=\frac{-16}{y_1}; \displaystyle x_1=\frac{-16}{-8}; x_1=2.Второе уравнение:
\displaystyle x_2=\frac{-16}{y_2}; \displaystyle x_2=\frac{-16}{8}; x_2=-2.Третье уравнение:
\displaystyle x_3=\frac{-16}{y_3}; \displaystyle x_3=\frac{-16}{-2}; x_3=8.Четвертое уравнение:
\displaystyle x_4=\frac{-16}{y_4}; \displaystyle x_4=\frac{-16}{2}; x_4=-8.В итоге получилось (2; -8); (-2; 8); (8; -2); (-8; 2).
Ответ: (2; -8); (-2; 8); (8; -2); (-8; 2)
Источник: ОГЭ-2026 Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 6) (Решебник)