Решите систему уравнений
\begin{cases} x^2+y^2=40, \\ xy=-12. \end{cases}Решение
Выразим x из второго уравнения \displaystyle x=\frac{-12}{y} и подставим его в первое уравнение:
\displaystyle \left( \frac{-12}{y} \right)^2+y^2=40; \displaystyle \frac{144}{y^2}+y^2=40; 144+y^4=40y^2; y^4-40y^2+144=0;Пусть t=y^2. Тогда:
t^2-40t+144=0; D=b^2-4ac=40^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144=1600-576=1024; \displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{40+32}{2 \cdot 1}=36; \displaystyle t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{40-32}{2 \cdot 1}=4.Проведем обратную замену:
y^2=36; y_{1,2}=\pm 6; y^2=4; y_{3,4}=\pm 2;Подставим значение y во второе уравнение и найдем x:
Первое уравнение:
\displaystyle x_1=\frac{-12}{y_1}; \displaystyle x_1=\frac{-12}{-6}; x_1=2.Второе уравнение:
\displaystyle x_2=\frac{-12}{y_2}; \displaystyle x_2=\frac{-12}{6}; x_2=-2.Третье уравнение:
\displaystyle x_3=\frac{-12}{y_3}; \displaystyle x_3=\frac{-12}{-2}; x_3=6.Четвертое уравнение:
\displaystyle x_4=\frac{-12}{y_4}; \displaystyle x_4=\frac{-12}{2}; x_4=-6.В итоге получилось (2; -6); (-2; 6); (6; -2); (-6; 2).
Ответ: (2; -6); (-2; 6); (6; -2); (-6; 2)
Источник: ОГЭ-2026 Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 5) (Решебник)