Решите уравнение x^8=(20-x)^4.
Решение
Для решение уравнения воспользуемся формулой разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b).
x^8=(20-x)^4; x^8-(20-x)^4=0; (x^4)^2-((20-x)^2)^2=0; (x^4-(20-x)^2)(x^4+(20-x)^2)=0; ((x^2)^2-(20-x)^2)(x^4+(20-x)^2)=0;Разложим ((x^2)^2-(20-x)^2) по формуле разности квадратов:
((x^2)^2-(20-x)^2)=(x^2-(20-x))(x^2+(20-x)).Запишем в уравнение:
(x^2-(20-x))(x^2+(20-x))(x^4+(20-x)^2)=0; (x^2+x-20)(x^2-x+20)(x^4+(20-x)^2)=0;Уравнение будет равно нулю, когда один из множителей будет равен нулю.
Первый множитель:
x^2+x-20=0; D=b^2-4ac=1-4 \cdot 1 \cdot (-20)=81; \displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-9}{2}=-5; \displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+9}{2}=4.Второй множитель:
x^2-x+20=0;D=b^2-4ac=1-4 \cdot 1 \cdot 20=-79 < 0 — корней нет.
Третий множитель:
x^4+(20-x)^2=0.Оба слагаемых в четной степени, значит они всегда будут больше нуля. Первое слагаемое будет равно нулю только тогда, когда x=0, а второе слагаемое будет равно нуля только тогда, когда x=-20. Сумма этих слагаемых никогда не будет равна нулю, значит корней у этого множителя нет.
Ответ: -5, 4
Источник: ОГЭ-2026 Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 8) (Решебник)