Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Введем обозначения:
Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Значит \angle B=90^{\circ} и дуга AC, на которую он опирается, в два раза больше, т.е. дуга AC=180^{\circ}. Отсюда можно написать, что AC является диаметров окружности и диагональю прямоугольника.
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Из него можно найти сторону BC:
\displaystyle sin BAC=\frac{BC}{AC};
\displaystyle 0,8=\frac{BC}{10};
BC=10 \cdot 0,8=8.
По теореме Пифагора найдем неизвестный катет AB:
AC^2=AB^2+BC^2;
10^2=AB^2+8^2;
AB^2=100-64;
AB=6.
Теперь можно найти площадь прямоугольника S = a \cdot b=6 \cdot 8=48.
Ответ: 48.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)