Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а \displaystyle tg BCA=\frac{4}{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Введем дополнительные обозначения, проведем BH и радиус HE:
BH — часть диагонали BD. А диагонали в ромбе пересекаются по прямым углом и точкой пересечения делится пополам, значит, треугольник BHC — прямоугольный и HC=36 \div 2=18.
Рассмотрим треугольник BHC. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему:
\displaystyle tg BCA=\frac{BH}{HC};
\displaystyle \frac{4}{3}=\frac{BH}{18};
3 BH=18 \cdot 4;
3 BH=72;
BH=72 \div 3=24.
По теореме Пифагора можно найти гипотенузу BC:
BC^2=BH^2+HC^2;
BC^2=24^2+18^2;
BC^2=576+324;
BC=\sqrt{900}=30.
HE — высота треугольника BHC, она же является радиусом окружности, проведенной в точку касания.
Площадь треугольника можно найти по формулам:
\displaystyle S=\frac{a \cdot b}{2}, где a и b — катеты.
\displaystyle S=\frac{a \cdot h}{2}, где a — основание, к которой проведена высота и h — высота.
Приравняем данные формулы и найдем радиус окружности, вписанной в ромб:
\displaystyle \frac{a \cdot b}{2}=\frac{a \cdot h}{2};
\displaystyle \frac{BH \cdot HC}{2}=\frac{BC \cdot HE}{2};
\displaystyle \frac{24 \cdot 18}{2}=\frac{30 \cdot HE}{2};
432= 30 HE;
HE= 432 \div 30=14,4.
Ответ: 14,4.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)