Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg BCA=0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Введем дополнительные обозначения, проведем BH и радиус HE:
BH — часть диагонали BD. А диагонали в ромбе пересекаются по прямым углом и точкой пересечения делится пополам, значит, треугольник BHC — прямоугольный и HC=8 \div 2=4.
Рассмотрим треугольник BHC. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему:
\displaystyle tg BCA=\frac{BH}{HC};
\displaystyle 0,75=\frac{BH}{4};
BH=0,75 \cdot 4=3.
По теореме Пифагора можно найти гипотенузу BC:
BC^2=BH^2+HC^2;
BC^2=3^2+4^2;
BC^2=9+16;
BC=\sqrt{25}=5.
HE — высота треугольника BHC, она же является радиусом окружности, проведенной в точку касания.
Площадь треугольника можно найти по формулам:
\displaystyle S=\frac{a \cdot b}{2}, где a и b — катеты.
\displaystyle S=\frac{a \cdot h}{2}, где a — основание, к которой проведена высота и h — высота.
Приравняем данные формулы и найдем радиус окружности, вписанной в ромб:
\displaystyle \frac{a \cdot b}{2}=\frac{a \cdot h}{2};
\displaystyle \frac{BH \cdot HC}{2}=\frac{BC \cdot HE}{2};
\displaystyle \frac{3 \cdot 4}{2}=\frac{5 \cdot HE}{2};
12= 5 HE;
HE= 12 \div 5=2,4.
Ответ: 2,4.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)