Найдите значение выражения \displaystyle \sqrt{27} cos^2 \frac{19 \pi}{12}- \sqrt{27} sin^2 \frac{19 \pi}{12}.
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin^2 a+cos^2 a=1:
\displaystyle \sqrt{27} cos^2 \frac{19 \pi}{12}- \sqrt{27} sin^2 \frac{19 \pi}{12} = \sqrt{27} \cdot (cos^2 \frac{19 \pi}{12}- sin^2 \frac{19 \pi}{12}) = \sqrt{27} \cdot (cos^2 \frac{19 \pi}{12}- (1-cos^2 \frac{19 \pi}{12})) = \sqrt{27} \cdot (cos^2 \frac{19 \pi}{12}- 1+cos^2 \frac{19 \pi}{12})) = \sqrt{27} \cdot (2 cos^2 \frac{19 \pi}{12} - 1)
Воспользуемся формулой двойного угла cos 2 a=2cos^2 a-1:
\displaystyle \sqrt{27} \cdot (2 cos^2 \frac{19 \pi}{12} - 1) = \sqrt{27} \cdot cos(2 \cdot \frac{19 \pi}{12}) = \sqrt{27} \cdot cos( \frac{19 \pi}{6}) = \sqrt{27} \cdot cos( \frac{18 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}) = \sqrt{27} \cdot cos( 3 \pi+\frac{\pi}{6}) = \sqrt{27} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\sqrt{27 \cdot 3}}{2}=-\frac{\sqrt{81}}{2}=-9 \div 2=-4,5.
Значение \displaystyle cos (3 \pi + \frac{\pi}{6}) выделено на тригонометрическом круге:
Ответ: -4,5.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 3) (Решебник)