Найдите значение выражения \displaystyle \sqrt{300} cos^2 \frac{19 \pi}{12} - \sqrt{75}.
Решение
\displaystyle \sqrt{300} cos^2 \frac{19 \pi}{12} - \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 3} cos^2 \frac{19 \pi}{12} - \sqrt{25 \cdot 3} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} cos^2 \frac{19 \pi}{12} - 5 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \cdot (2cos^2 \frac{19 \pi}{12}-1).
Воспользуемся формулой двойного угла cos 2 a=2cos^2 a-1:
\displaystyle 5 \sqrt{3} \cdot (2cos^2 \frac{19 \pi}{12}-1) = 5 \sqrt{3} cos (2 \cdot \frac{19 \pi}{12}) = 5 \sqrt{3} cos (\frac{19 \pi}{6}) = 5 \sqrt{3} cos (\frac{18 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}) = 5 \sqrt{3} cos (3 \pi+\frac{\pi}{6}) = 5 \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{5 \cdot 3}{2}=-15 \div 2=-7,5
Значение \displaystyle cos (3 \pi + \frac{\pi}{6}) выделено на тригонометрическом круге:
Ответ: -7,5.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 4) (Решебник)