Найдите наименьшее значение функции \displaystyle y=-\frac{2}{5}x \sqrt{x}+3x-8 на отрезке [4; 36].
Решение
ОДЗ: x \geq 0;
Упростим функцию:
\displaystyle y=-\frac{2}{5}x \sqrt{x}+3x-8 = -\frac{2}{5} \cdot x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}+3x-8=-\frac{2}{5} \cdot x ^{1+\frac{1}{2}}+3x-8=-\frac{2}{5}x^{\frac{3}{2}}+3x-8.
Найдём производную функции:
\displaystyle y'=\left(-\frac{2}{5}x^{\frac{3}{2}}+3x-8 \right)'=-\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}+3=-\frac{3}{5}x^{\frac{1}{2}}+3=-\frac{3}{5} \sqrt{x}+3.
Найдём нули производной:
\displaystyle -\frac{3}{5} \sqrt{x}+3=0;
\displaystyle -\frac{3}{5} \sqrt{x}=-3;
\displaystyle \sqrt{x}=-3 \cdot -\left( \frac{5}{3} \right);
\displaystyle \sqrt{x}=5;
\displaystyle x=25.
Изобразим поведение функции на отрезке [4; 36]:
x=25 — точка максимума. Значит тут функция имеет наибольшее значение.
А нам нужно наименьшее значение функции, проверим значение на концах отрезка:
\displaystyle y(4)=-\frac{2}{5}x \sqrt{x}+3x-8=-\frac{2}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt{4}+3 \cdot 4-8=-3,2+12-8=0,8;
\displaystyle y(36)=-\frac{2}{5}x \sqrt{x}+3x-8=-\frac{2}{5} \cdot 36 \cdot \sqrt{36}+3 \cdot 36-8=-86,4+108-8=13,6.
Получилось, что наименьшее значение равно 0,8.
Ответ: 0,8.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 4) (Решебник)