Найдите наибольшее значение функции \displaystyle y=\frac{1}{3}x \sqrt{x}-3x+70 на отрезке [9; 81].
Решение
ОДЗ: x \geq 0;
Упростим функцию:
\displaystyle y=\frac{1}{3}x \sqrt{x}-3x+70 = \frac{1}{3} \cdot x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}-3x+70=\frac{1}{3} \cdot x ^{1+\frac{1}{2}}-3x+70=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+70.
Найдём производную функции:
\displaystyle y'=\left(\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+70 \right)'=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}-3=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2} \sqrt{x}-3.
Найдём нули производной:
\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{x}-3=0;
\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{x}=3;
\displaystyle \sqrt{x}=3 \cdot 2;
\displaystyle \sqrt{x}=6;
\displaystyle x=36.
Изобразим поведение функции на отрезке [9; 81]:
x=36 — точка минимума. Значит тут функция имеет наименьшее значение.
А нам нужно наибольшее значение функции, проверим значение на концах отрезка:
\displaystyle y(9)=\frac{1}{3}x \sqrt{x}-3x+70=\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9}-3 \cdot 9+70=9-27+70=52;
\displaystyle y(81)=\frac{1}{3}x \sqrt{x}-3x+70=\frac{1}{3} \cdot 81 \cdot \sqrt{81}-3 \cdot 81+70=243-243+70=70.
Получилось, что наибольшее значение равно 70.
Ответ: 70.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 3) (Решебник)