Куб вписан в шар радиуса 4,5 \sqrt{3}. Найдите объём куба.
Решение
Нарисуем условие:
Объем куба находится по формуле V=a^3.
Диаметр шара является диагональю куба D=r+r=4,5 \sqrt{3}+4,5 \sqrt{3}=9 \sqrt{3}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:
По теореме Пифагора найдём чему равна гипотенуза BC, у нас AB=AC=a, т.к. это стороны куба:
BC^2=AB^2+AC^2;
BC^2=a^2+a^2;
BC^2=2a^2;
BC=\sqrt{2} a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC:
По теореме Пифагора найдём чему равна сторона куба BD=a, у нас DC=D:
DC^2=BD^2+BC^2;
D^2=a^2+BC^2;
(9 \sqrt{3})^2=a^2+(\sqrt{2} a)^2;
243=a^2+2a^2;
243=3a^2;
a^2=81;
a=9.
Найдём чему равен объем куба V=9^3=729.
Ответ: 729.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 5) (Решебник)