На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, координаты у которых – целые числа. Найдите cos \angle (\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b}).
Решение
Небольшая теория:
Для нахождения координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора \overrightarrow{a} (x_2-x_2; y_2-y_1) .
Скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) находится по формуле \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2+y_1 y_2.
Длину вектора можно найти по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Скалярное произведение двух векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot cos \alpha.
Найдём координаты векторов:
\overrightarrow{a}=(-2-(-5)); 2-(-4))=(3; 6);
\overrightarrow{b}=(5-(-6); 2-4)=(11; -2);
Найдём скалярное произведение векторов:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3 \cdot 11+6 \cdot (-2)=33-12=21.
Найдём длину векторов:
\overrightarrow{|a|}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45};
\overrightarrow{|b|}=\sqrt{11^2+(-2)^2}=\sqrt{121+4}=\sqrt{125};
Найдём косинус угла между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}:
21=\sqrt{45} \cdot \sqrt{125} \cdot cos \alpha;
21=\sqrt{5625} \cdot cos \alpha;
21=75 \cdot cos \alpha;
cos \alpha = 21 \div 75=0,28.
Ответ: 0,28.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 6) (Решебник)