На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора 1,5 \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.
Решение
Небольшая теория:
Для нахождения координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора \overrightarrow{a} (x_2-x_2; y_2-y_1) .
При сложении векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты складываются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)+\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1+x_2; y_1+y_2).
При вычитании векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты вычитаются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)-\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1-x_2; y_1-y_2).
При умножении вектора \overrightarrow{a} (x_1; y_1) на число k — координаты умножаются на число k: k \cdot \overrightarrow{a} (x_1; y_1)=\overrightarrow{c} (kx_1; ky_1).
Длину вектора можно найти по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Определим координаты начала и конца векторов:
Найдём координаты векторов:
\overrightarrow{a}=(2-3; -2-1)=(-1; -3);
\overrightarrow{b}=(-5-(-1); 5-(-1))=(-4; 6);
1,5 \overrightarrow{b}=(1,5 \cdot (-4); 1,5 \cdot 6)=(-6; 9).
Найдем координаты вектора 1,5\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}:
1,5\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = (-6; 9)-(-1; -3) = (-6-(-1); 9-(-3))=(-5 ;12).
Найдем длину вектора 1,5\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}:
|1,5\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
Ответ: 13.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 9) (Решебник)