На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c}, координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}).
Решение
Небольшая теория:
При сложении векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты складываются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)+\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1+x_2; y_1+y_2).
При вычитании векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) их координаты вычитаются: \overrightarrow{a} (x_1; y_1)-\overrightarrow{b} (x_2; y_2)=\overrightarrow{c} (x_1-x_2; y_1-y_2).
Для нахождения координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора \overrightarrow{a} (x_2-x_2; y_2-y_1) .
При умножении вектора \overrightarrow{a} (x_1; y_1) на число k — координаты умножаются на число k: k \cdot \overrightarrow{a} (x_1; y_1)=\overrightarrow{c} (kx_1; ky_1).
Скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) находится по формуле \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2+y_1 y_2.
Определим координаты начала и конца векторов:
Найдём координаты векторов:
\overrightarrow{a}=(-7-(-1)); 3-(-2))=(-6; 5);
\overrightarrow{b}=(5-5; 1-(-4))=(0; 5);
\overrightarrow{c}=(-6-1; -1-4)=(-7; -5);
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}=(0-7; 5-5)=(-7; 0).
Найдём скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = -6 \cdot (-7) + 5 \cdot 0=42.
Ответ: 42.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 17) (Решебник)