Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
Решение
Вероятность промаха равна 1-0,6=0,4.
Вероятность того, что стрелок попадет с первого выстрела равна 0,6.
Вероятность того, что стрелок промажет первым выстрелом, но попадет вторым равна 0,4 \cdot 0,6=0,24.
Вероятность того, что стрелок попадет первым или вторым выстрелом равна 0,6+0,24=0,84.
Вероятность того, что стрелок не попадет мишень с двух выстрелов равна 1-0,84=0,16.
Рассмотрим событие «стрелок поразит ровно одну мишень»:
Предположим, что стрелок попал первым выстрелом, а остальными четырьмя промахнулся. Вероятность такого события равна 0,84 \cdot 0,16 \cdot 0,16 \cdot 0,16 \cdot 0,16 =0,84 \cdot 0,16^4.
Комбинаций когда стрелок попадет 1 раз и промахнется 4 раза много (он может попасть первым, вторым, третьим или четвертым выстрелом). Поэтому воспользуемся формулой сочетания:
\displaystyle C_n ^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}.
Найдём количество исходов, когда стрелок попадет ровно 1 раз:
\displaystyle C_5 ^1=\frac{5!}{1! \cdot (5-1)!}=\frac{5!}{1! \cdot 4!}=\frac{5}{1}=5.
Значит, вероятность события «стрелок поразит ровно одну мишень» будет равна P_{1раз}=5 \cdot 0,84 \cdot 0,16^4.
Рассмотрим событие «стрелок поразит ровно две мишени»:
Предположим, что стрелок попал первым и вторым выстрелом, а остальными тремя промахнулся. Вероятность такого события равна 0,84 \cdot 0,84 \cdot 0,16 \cdot 0,16 \cdot 0,16 =0,84^2 \cdot 0,16^3.
Комбинаций когда стрелок попадет 2 раз и промахнется 3 раза много. Поэтому воспользуемся формулой сочетания:
\displaystyle C_n ^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}.
Найдём количество исходов, когда стрелок попадет ровно в 2 мишени:
\displaystyle C_5 ^2=\frac{5!}{2! \cdot (5-2)!}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=\frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1}=10.
Значит, вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» будет равна P_{2раза}=10 \cdot 0,84^2 \cdot 0,16^3.
Найдём во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»:
\displaystyle \frac{P_{2раза}}{P_{1раз}}=\frac{10 \cdot 0,84^2 \cdot 0,16^3}{5 \cdot 0,84 \cdot 0,16^4}=\frac{2 \cdot 0,84}{0,16}=10,5.
Ответ: 10,5.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 23) (Решебник)