Даны векторы \overrightarrow{a} (-14; 2) и \overrightarrow{b} (3; -21). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Небольшая теория:
Скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) находится по формуле \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2+y_1 y_2.
Длину вектора можно найти по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Скалярное произведение двух векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot cos \alpha.
Найдём скалярное произведение векторов:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-14 \cdot 3+2 \cdot (-21)=-42-42=-84.
Найдём длину векторов:
\overrightarrow{|a|}=\sqrt{(-14)^2+2^2}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200};
\overrightarrow{|b|}=\sqrt{3^2+(-21)^2}=\sqrt{9+441}=\sqrt{450};
Найдём косинус угла между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}:
-84=\sqrt{200} \cdot \sqrt{450} \cdot cos \alpha;
-84=\sqrt{90000} \cdot cos \alpha;
-84=300 \cdot cos \alpha;
cos \alpha = -84 \div 300=-0,28.
Ответ: -0,28.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 20) (Решебник)