Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба находится по формуле $\displaystyle S=a \cdot h$ , где $a$ — длина стороны ромба, $h$ — высота.

Введем обозначения и проведем высоту:

Периметр ромба равен $12$ , значит сторона ромба равна $12 \div 4 = 3$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ . Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. В нашем случае $A=30^{\circ}$ и гипотенуза $AB=a=3$ . Значит, высота $\displaystyle BH=h=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{1}{2} \cdot 3=1,5$ .

Подставим известные значения в формулу и найдём площадь ромба:

$S=3 \cdot 1,5=4,5.$

Ответ: $4,5$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)