Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба находится по формуле $\displaystyle S=a \cdot h$ , где $a$ — длина стороны ромба, $h$ — высота.

Введем обозначения и проведем высоту:

Периметр ромба равен $24$ , значит сторона ромба равна $24 \div 4 = 6$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ . Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы. В нашем случае $A=30^{\circ}$ и гипотенуза $AB=a=6$ . Значит, высота $\displaystyle BH=h=\frac{1}{2} \cdot AB=\frac{1}{2} \cdot 6=3$ .

Подставим известные значения в формулу и найдём площадь ромба:

$S=6 \cdot 3=18.$

Ответ: $18$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)