Решите уравнение (x-2)^4+3(x-2)^2-10=0.

Задание

Решите уравнение $(x-2)^4+3(x-2)^2-10=0$ .

Пусть $t=(x-2)^2$ , тогда:

t^2+3t-10=0;

D=b^2-4ac=9-4 \cdot 1 \cdot (-10)=9+40=49;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+7}{2}=2;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-7}{2}=-5.

Проведем обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x-2)^2;

2=(x-2)^2;

2=x^2-4x+4;

x^2-4x+4-2=0;

x^2-4x+2=0;

D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 2=16-8=8;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{8}}{2}=2+\sqrt{2};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{8}}{2}=2-\sqrt{2}.

Вторая замена:

t_2=(x-2)^2;

-5=(x-2)^2;

-5=x^2-4x+4;

x^2-4x+4+5=0;

x^2-4x+9=0;

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 9=16-36=-20 < 0$ — корней нет.

Ответ: $2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)