Решите уравнение (x-2)^4+3(x-2)^2-10=0.

Задание

Решите уравнение $(x-2)^4+3(x-2)^2-10=0$ .

Пусть $t=(x-2)^2$ , тогда:

$t^2+3t-10=0;$

$D=b^2-4ac=9-4 \cdot 1 \cdot (-10)=9+40=49;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+7}{2}=2;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-7}{2}=-5.$

Проведем обратную замену:

Первая замена:

$t_1=(x-2)^2;$

$2=(x-2)^2;$

$2=x^2-4x+4;$

$x^2-4x+4-2=0;$

$x^2-4x+2=0;$

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 2=16-8=8;$

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{8}}{2}=2+\sqrt{2};$

$\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{8}}{2}=2-\sqrt{2}.$

Вторая замена:

$t_2=(x-2)^2;$

$-5=(x-2)^2;$

$-5=x^2-4x+4;$

$x^2-4x+4+5=0;$

$x^2-4x+9=0;$

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 9=16-36=-20 < 0$ — корней нет.

Ответ: $2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)