Решите уравнение (x+2)^4+(x+2)^2-12=0.

Задание

Решите уравнение $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$ .

Пусть $t=(x+2)^2$ , тогда:

$t^2+t-12=0;$

$D=b^2-4ac=1-4 \cdot 1 \cdot (-12)=1+48=49;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+7}{2}=3;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-7}{2}=-4.$

Проведем обратную замену:

Первая замена:

$t_1=(x+2)^2;$

$3=(x+2)^2;$

$3=x^2+4x+4;$

$x^2+4x+4-3=0;$

$x^2+4x+1=0;$

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 1=16-4=12;$

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt{12}}{2}=-2+\sqrt{3};$

$\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt{12}}{2}=-2-\sqrt{3}.$

Вторая замена:

$t_2=(x+2)^2;$

$-1=(x+2)^2;$

$-4=x^2+4x+4;$

$x^2+4x+4+4=0;$

$x^2+4x+8=0;$

$D=b^2-4ac=16-4 \cdot 1 \cdot 8=16-32=-18 < 0$ — корней нет.

Ответ: $-2+\sqrt{3}, -2-\sqrt{3}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)